
\documentclass[a4paper,12pt]{article}

% Use utf-8 encoding for foreign characters
\usepackage[utf8]{inputenc}

%Babel
\usepackage[american, russian]{babel}


% \usepackage{hyperref}

% For fullpage
\usepackage{fullpage}



% Uncomment some of the following if you use the features
%
% Running Headers and footers
%\usepackage{fancyhdr}

% Multipart figures
%\usepackage{subfigure}

% More symbols
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{latexsym}

%Theorem
\usepackage{amsthm}

% Surround parts of graphics with box
%\usepackage{boxedminipage}

% Package for including code in the document
%\usepackage{listings}

%Add indented line
\usepackage{indentfirst}

% If you want to generate a toc for each chapter (use with book)
%\usepackage{minitoc}

%For color text
\usepackage{color}


% This is now the recommended way for checking for PDFLaTeX:
\usepackage{ifpdf}


%\newif\ifpdf
%\ifx\pdfoutput\undefined
%\pdffalse % we are not running PDFLaTeX
%\else
%\pdfoutput=1 % we are running PDFLaTeX
%\pdftrue
%\fi



\ifpdf
\usepackage[pdftex]{graphicx}
\else
\usepackage{graphicx}
\fi


\begin{document}
	
	
\begin{center}
	{\it Первый математический турнир <<Кубок имени А. Н. Колмогорова>>} 
\end{center}

\centerline{\it Белорецк, 20 -- 26 сентября 1997 года}

\centerline{\bf Командная олимпиада}

\medskip

1. Точки $E$, $F$, $K$, $M$ --- соответственно середины отрезков $AB$, $CD$, $AD$, $AK$ в выпуклом четырехугольнике $ABCD$, прямые $AF$, $CM$, $BK$, $DE$ пересекаются в одной точке $O$. Докажите, что площадь четырехугольника $BOFC$ равна половине площади четырехугольника $ABCD$. \textit{(М. А. Евдокимов) }

2. Даны два квадратных уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$. Рассматриваются всевозможные уравнения, которые получаются, если к первому несколько раз прибавить второе. Среди них оказалось бесконечно много уравнений, имеющих хотя бы один целый корень. Докажите, что исходные уравнения имеют общий целый корень. \textit{(А. В. Шаповалов)}

3. Пусть $n$ -- некоторое натуральное число. Имеется $n$ бесконечных арифметических прогрессий из натуральных чисел, таких, что никакое число из второй сотни ($101$, $102$, \dots, $200$) не принадлежит ни одной из этих прогрессий, а любое другое натуральное число содержится хотя бы в одной из них. При каком наименьшем $n$ это возможно? \textit{(Р. Г. Женодаров)}

4. В куче лежит $n$ спичек. Двое играющих берут по очереди от одной до десяти спичек за ход. Взявший последнюю спичку получает премиальный коробок с $60$ спичками. Выигрывает тот, у кого с учетом премии в сумме окажется больше спичек. Докажите, что при достаточно большом значении $n$ начинающий игрок может играть так, чтобы не проиграть, независимо от ходов соперника. \textit{(А. В. Шаповалов)}

5. Квадрат $6\times6$ разбивают на прямоугольники $1\times2$. Какое наибольшее количество пар соседних (то есть имеющих общий отрезок границы) прямоугольников может при этом получиться? \textit{(А. В. Шаповалов) }

6. Для каждой последовательности длины $1997$, составленной из чисел $1$ и $-1$, вычислили квадрат суммы входящих в нее чисел. Найдите среднее арифметическое всех таких квадратов. \textit{(А. Я. Белов)}

\end{document}
